Theoremes mathematques.

David Joyce a donné une grande réponse qui implique les notions très fondamentales de théorie, axiomes, provabilité (ou preuve), et théorème. Je ne vais pas répéter sa réponse, mais pour récapituler rapidement, les déclarations que vous pouvez prouver à partir de vos axiomes, et d’autres déclarations précédemment prouvées en utilisant des règles de déduction formelles sont des théorèmes, et c’est la notion d’une provabilité. Habituellement dénoté par dans la logique. Notez ici que ce n’est pas la même notion que la preuve méta-théorique qui est écrite en mots (c’est la preuve que vous voyez dans les manuels, les papiers, etc), mais cette preuve est un objet mathématique formel. Je n’entrerai pas dans les détails maintenant. Comme David l’a mentionné, il est clair que la preuve sous-entend la vérité. Si quelque chose est prouvable, elle doit l’être.

D’autre part (par Godel) nous savons que converse n’est pas vrai, c.-à-d. vrai n’implique pas prouvable. Si votre théorie peut comprendre l’arithmétique, vous pouvez trouver des énoncés qui sont vrais dans n’importe quel modèle, mais qui ne peuvent pas être prouvés par votre théorie. C’est très contre-intuitif. L’une des raisons en est le principe des médians exclus de la logique (classique). Il dit soit un énoncé ou son contraire doit être vrai. Donc, supposons que vous avez trouvé un énoncé ni lui-même ni son contraire est démontrable dans votre théorie. Mais, par principe des intermédiaires exclus, l’énoncé ou son contraire est vrai.

Retour au premier paragraphe pour conclure, la provabilité est une notion plus forte qui implique la vérité et elle implique un processus concret qui aboutit à un objet mathématique appelé la preuve (formelle). La vérité est une notion plus fondamentale qui est décrite en termes de fonctions de vérité. Dans la fonction habituelle de vérité binaire, un énoncé peut être vrai ou faux. Cela ne nécessite pas de preuve, et plus important encore, comme David a souligné la vérité d’une déclaration peut également dépendre de votre modèle. Quelque chose de vrai dans un modèle peut ne pas être vrai dans un autre.

Prenez les axiomes de champs par exemple. La théorie des champs peut prouver l’énoncé « Pour n’importe quel x, il y a un y tel que y=x2 ». C’est donc un théorème de la théorie des champs. C’est vrai pour tous les champs. L’énoncé « 1+1+1=0 » n’est toutefois vrai que pour les champs de la caractéristique 3. Il est vrai dans certains modèles, mais pas dans d’autres. Dans les modèles qu’il est vrai, il est vrai, mais n’a pas une preuve (formelle).